## Friday, November 12, 2010

### Squares: Looking for digits

Placing a digit to the right and to the left to 25 in order to get a square:

For example, 625 = 25^2, and 256 = 16^2

The only digit that can work is 6. We can see it easily by listing all the 3-digit square numbers:

10^2 = 100        21^2 = 441
11^2 = 121        22^2 = 484
12^2 = 144        23^2 = 529
13^2 = 169        24^2 = 576
14^2 = 196        25^2 = 625
15^2 = 225        26^2 = 676
16^2 = 256        27^2 = 729
17^2 = 289        28^2 = 784
18^2 = 324        29^2 = 841
19^2 = 361        30^2 = 900
20^2 = 400        31^2 = 961

Can we find 2 digits, x, y, such as xyAB is a square and ABxy is also a square?

32^2 = 1024     49^2 = 2401     66^2 = 4356     83^2 = 6889
33^2 = 1089     50^2 = 2500     67^2 = 4489     84^2 = 7056
34^2 = 1156     51^2 = 2601     68^2 = 4624     85^2 = 7225
35^2 = 1225     52^2 = 2704     69^2 = 4761     86^2 = 7396
36^2 = 1296     53^2 = 2809     70^2 = 4900     87^2 = 7569
37^2 = 1369     54^2 = 2916     71^2 = 5041     88^2 = 7744
38^2 = 1444     55^2 = 3025     72^2 = 5184     89^2 = 7921
39^2 = 1521     56^2 = 3136     73^2 = 5329     90^2 = 8100
40^2 = 1600     57^2 = 3249     74^2 = 5476     91^2 = 8281
41^2 = 1681     58^2 = 3364     75^2 = 5625     92^2 = 8464
42^2 = 1764     59^2 = 3481     76^2 = 5776     93^2 = 8649
43^2 = 1849     60^2 = 3600     77^2 = 5929     94^2 = 8836
44^2 = 1936     61^2 = 3721     78^2 = 6084     95^2 = 9025
45^2 = 2025     62^2 = 3844     79^2 = 6241     96^2 = 9216
46^2 = 2116     63^2 = 3969     80^2 = 6400     97^2 = 9409
47^2 = 2209     64^2 = 4096     81^2 = 6561     98^2 = 9604
48^2 = 2304     65^2 = 4225     82^2 = 6724     99^2 = 9801

Let's look at 5-digit square numbers
---------------------------------------------------------------

Here I look at numbers of the form xyABC and ABCxy

100^2 = 10000     154^2 = 23716     208^2 = 43264     262^2 = 68644
101^2 = 10201     155^2 = 24025     209^2 = 43681     263^2 = 69169
102^2 = 10404     156^2 = 24336     210^2 = 44100     264^2 = 69696
103^2 = 10609     157^2 = 24649     211^2 = 44521     265^2 = 70225
104^2 = 10816     158^2 = 24964     212^2 = 44944     266^2 = 70756
105^2 = 11025     159^2 = 25281     213^2 = 45369     267^2 = 71289
106^2 = 11236     160^2 = 25600     214^2 = 45796     268^2 = 71824
107^2 = 11449     161^2 = 25921     215^2 = 46225     269^2 = 72361
108^2 = 11664     162^2 = 26244     216^2 = 46656     270^2 = 72900
109^2 = 11881     163^2 = 26569     217^2 = 47089     271^2 = 73441
110^2 = 12100     164^2 = 26896     218^2 = 47524     272^2 = 73984
111^2 = 12321     165^2 = 27225     219^2 = 47961     273^2 = 74529
112^2 = 12544     166^2 = 27556     220^2 = 48400     274^2 = 75076
113^2 = 12769     167^2 = 27889     221^2 = 48841     275^2 = 75625
114^2 = 12996     168^2 = 28224     222^2 = 49284     276^2 = 76176
115^2 = 13225     169^2 = 28561     223^2 = 49729     277^2 = 76729
116^2 = 13456     170^2 = 28900     224^2 = 50176     278^2 = 77284
117^2 = 13689     171^2 = 29241     225^2 = 50625     279^2 = 77841
118^2 = 13924     172^2 = 29584     226^2 = 51076     280^2 = 78400
119^2 = 14161     173^2 = 29929     227^2 = 51529     281^2 = 78961
120^2 = 14400     174^2 = 30276     228^2 = 51984     282^2 = 79524
121^2 = 14641     175^2 = 30625     229^2 = 52441     283^2 = 80089
122^2 = 14884     176^2 = 30976     230^2 = 52900     284^2 = 80656
123^2 = 15129     177^2 = 31329     231^2 = 53361     285^2 = 81225
124^2 = 15376     178^2 = 31684     232^2 = 53824     286^2 = 81796
125^2 = 15625     179^2 = 32041     233^2 = 54289     287^2 = 82369
126^2 = 15876     180^2 = 32400     234^2 = 54756     288^2 = 82944
127^2 = 16129     181^2 = 32761     235^2 = 55225     289^2 = 83521
128^2 = 16384     182^2 = 33124     236^2 = 55696     290^2 = 84100
129^2 = 16641     183^2 = 33489     237^2 = 56169     291^2 = 84681
130^2 = 16900     184^2 = 33856     238^2 = 56644     292^2 = 85264
131^2 = 17161     185^2 = 34225     239^2 = 57121     293^2 = 85849
132^2 = 17424     186^2 = 34596     240^2 = 57600     294^2 = 86436
133^2 = 17689     187^2 = 34969     241^2 = 58081     295^2 = 87025
134^2 = 17956     188^2 = 35344     242^2 = 58564     296^2 = 87616
135^2 = 18225     189^2 = 35721     243^2 = 59049     297^2 = 88209
136^2 = 18496     190^2 = 36100     244^2 = 59536     298^2 = 88804
137^2 = 18769     191^2 = 36481     245^2 = 60025     299^2 = 89401
138^2 = 19044     192^2 = 36864     246^2 = 60516     300^2 = 90000
139^2 = 19321     193^2 = 37249     247^2 = 61009     301^2 = 90601
140^2 = 19600     194^2 = 37636     248^2 = 61504     302^2 = 91204
141^2 = 19881     195^2 = 38025     249^2 = 62001     303^2 = 91809
142^2 = 20164     196^2 = 38416     250^2 = 62500     304^2 = 92416
143^2 = 20449     197^2 = 38809     251^2 = 63001     305^2 = 93025
144^2 = 20736     198^2 = 39204     252^2 = 63504     306^2 = 93636
145^2 = 21025     199^2 = 39601     253^2 = 64009     307^2 = 94249
146^2 = 21316     200^2 = 40000     254^2 = 64516     308^2 = 94864
147^2 = 21609     201^2 = 40401     255^2 = 65025     309^2 = 95481
148^2 = 21904     202^2 = 40804     256^2 = 65536     310^2 = 96100
149^2 = 22201     203^2 = 41209     257^2 = 66049     311^2 = 96721
150^2 = 22500     204^2 = 41616     258^2 = 66564     312^2 = 97344
151^2 = 22801     205^2 = 42025     259^2 = 67081     313^2 = 97969
152^2 = 23104     206^2 = 42436     260^2 = 67600     314^2 = 98596
153^2 = 23409     207^2 = 42849     261^2 = 68121     315^2 = 99225
316^2 = 99856

6-digit square numbers
-----------------------------------------

Here I look at numbers of the forms (xyABCD, ABCDxy) and (xyzABC, ABCxyz)

317^2 = 100489     488^2 = 238144     658^2 = 432964     828^2 = 685584
318^2 = 101124     489^2 = 239121     659^2 = 434281     829^2 = 687241
319^2 = 101761     490^2 = 240100     660^2 = 435600     830^2 = 688900
320^2 = 102400     491^2 = 241081     661^2 = 436921     831^2 = 690561
321^2 = 103041     492^2 = 242064     662^2 = 438244     832^2 = 692224
322^2 = 103684     493^2 = 243049     663^2 = 439569     833^2 = 693889
323^2 = 104329     494^2 = 244036     664^2 = 440896     834^2 = 695556
324^2 = 104976     495^2 = 245025     665^2 = 442225     835^2 = 697225
325^2 = 105625     496^2 = 246016     666^2 = 443556     836^2 = 698896
326^2 = 106276     497^2 = 247009     667^2 = 444889     837^2 = 700569
327^2 = 106929     498^2 = 248004     668^2 = 446224     838^2 = 702244
328^2 = 107584     499^2 = 249001     669^2 = 447561     839^2 = 703921
329^2 = 108241     500^2 = 250000     670^2 = 448900     840^2 = 705600
330^2 = 108900     501^2 = 251001     671^2 = 450241     841^2 = 707281
331^2 = 109561     502^2 = 252004     672^2 = 451584     842^2 = 708964
332^2 = 110224     503^2 = 253009     673^2 = 452929     843^2 = 710649
333^2 = 110889     504^2 = 254016     674^2 = 454276     844^2 = 712336
334^2 = 111556     505^2 = 255025     675^2 = 455625     845^2 = 714025
335^2 = 112225     506^2 = 256036     676^2 = 456976     846^2 = 715716
336^2 = 112896     507^2 = 257049     677^2 = 458329     847^2 = 717409
337^2 = 113569     508^2 = 258064     678^2 = 459684     848^2 = 719104
338^2 = 114244     509^2 = 259081     679^2 = 461041     849^2 = 720801
339^2 = 114921     510^2 = 260100     680^2 = 462400     850^2 = 722500
340^2 = 115600     511^2 = 261121     681^2 = 463761     851^2 = 724201
341^2 = 116281     512^2 = 262144     682^2 = 465124     852^2 = 725904
342^2 = 116964     513^2 = 263169     683^2 = 466489     853^2 = 727609
343^2 = 117649     514^2 = 264196     684^2 = 467856     854^2 = 729316
344^2 = 118336     515^2 = 265225     685^2 = 469225     855^2 = 731025
345^2 = 119025     516^2 = 266256     686^2 = 470596     856^2 = 732736
346^2 = 119716     517^2 = 267289     687^2 = 471969     857^2 = 734449
347^2 = 120409     518^2 = 268324     688^2 = 473344     858^2 = 736164
348^2 = 121104     519^2 = 269361     689^2 = 474721     859^2 = 737881
349^2 = 121801     520^2 = 270400     690^2 = 476100     860^2 = 739600
350^2 = 122500     521^2 = 271441     691^2 = 477481     861^2 = 741321
351^2 = 123201     522^2 = 272484     692^2 = 478864     862^2 = 743044
352^2 = 123904     523^2 = 273529     693^2 = 480249     863^2 = 744769
353^2 = 124609     524^2 = 274576     694^2 = 481636     864^2 = 746496
354^2 = 125316     525^2 = 275625     695^2 = 483025     865^2 = 748225
355^2 = 126025     526^2 = 276676     696^2 = 484416     866^2 = 749956
356^2 = 126736     527^2 = 277729     697^2 = 485809     867^2 = 751689
357^2 = 127449     528^2 = 278784     698^2 = 487204     868^2 = 753424
358^2 = 128164     529^2 = 279841     699^2 = 488601     869^2 = 755161
359^2 = 128881     530^2 = 280900     700^2 = 490000     870^2 = 756900
360^2 = 129600     531^2 = 281961     701^2 = 491401     871^2 = 758641
361^2 = 130321     532^2 = 283024     702^2 = 492804     872^2 = 760384
362^2 = 131044     533^2 = 284089     703^2 = 494209     873^2 = 762129
363^2 = 131769     534^2 = 285156     704^2 = 495616     874^2 = 763876
364^2 = 132496     535^2 = 286225     705^2 = 497025     875^2 = 765625
365^2 = 133225     536^2 = 287296     706^2 = 498436     876^2 = 767376
366^2 = 133956     537^2 = 288369     707^2 = 499849     877^2 = 769129
367^2 = 134689     538^2 = 289444     708^2 = 501264     878^2 = 770884
368^2 = 135424     539^2 = 290521     709^2 = 502681     879^2 = 772641
369^2 = 136161     540^2 = 291600     710^2 = 504100     880^2 = 774400
370^2 = 136900     541^2 = 292681     711^2 = 505521     881^2 = 776161
371^2 = 137641     542^2 = 293764     712^2 = 506944     882^2 = 777924
372^2 = 138384     543^2 = 294849     713^2 = 508369     883^2 = 779689
373^2 = 139129     544^2 = 295936     714^2 = 509796     884^2 = 781456
374^2 = 139876     545^2 = 297025     715^2 = 511225     885^2 = 783225
375^2 = 140625     546^2 = 298116     716^2 = 512656     886^2 = 784996
376^2 = 141376     547^2 = 299209     717^2 = 514089     887^2 = 786769
377^2 = 142129     548^2 = 300304     718^2 = 515524     888^2 = 788544
378^2 = 142884     549^2 = 301401     719^2 = 516961     889^2 = 790321
379^2 = 143641     550^2 = 302500     720^2 = 518400     890^2 = 792100
380^2 = 144400     551^2 = 303601     721^2 = 519841     891^2 = 793881
381^2 = 145161     552^2 = 304704     722^2 = 521284     892^2 = 795664
382^2 = 145924     553^2 = 305809     723^2 = 522729     893^2 = 797449
383^2 = 146689     554^2 = 306916     724^2 = 524176     894^2 = 799236
384^2 = 147456     555^2 = 308025     725^2 = 525625     895^2 = 801025
385^2 = 148225     556^2 = 309136     726^2 = 527076     896^2 = 802816
386^2 = 148996     557^2 = 310249     727^2 = 528529     897^2 = 804609
387^2 = 149769     558^2 = 311364     728^2 = 529984     898^2 = 806404
388^2 = 150544     559^2 = 312481     729^2 = 531441     899^2 = 808201
389^2 = 151321     560^2 = 313600     730^2 = 532900     900^2 = 810000
390^2 = 152100     561^2 = 314721     731^2 = 534361     901^2 = 811801
391^2 = 152881     562^2 = 315844     732^2 = 535824     902^2 = 813604
392^2 = 153664     563^2 = 316969     733^2 = 537289     903^2 = 815409
393^2 = 154449     564^2 = 318096     734^2 = 538756     904^2 = 817216
394^2 = 155236     565^2 = 319225     735^2 = 540225     905^2 = 819025
395^2 = 156025     566^2 = 320356     736^2 = 541696     906^2 = 820836
396^2 = 156816     567^2 = 321489     737^2 = 543169     907^2 = 822649
397^2 = 157609     568^2 = 322624     738^2 = 544644     908^2 = 824464
398^2 = 158404     569^2 = 323761     739^2 = 546121     909^2 = 826281
399^2 = 159201     570^2 = 324900     740^2 = 547600     910^2 = 828100
401^2 = 160801     571^2 = 326041     741^2 = 549081     911^2 = 829921
402^2 = 161604     572^2 = 327184     742^2 = 550564     912^2 = 831744
403^2 = 162409     573^2 = 328329     743^2 = 552049     913^2 = 833569
404^2 = 163216     574^2 = 329476     744^2 = 553536     914^2 = 835396
405^2 = 164025     575^2 = 330625     745^2 = 555025     915^2 = 837225
406^2 = 164836     576^2 = 331776     746^2 = 556516     916^2 = 839056
407^2 = 165649     577^2 = 332929     747^2 = 558009     917^2 = 840889
408^2 = 166464     578^2 = 334084     748^2 = 559504     918^2 = 842724
409^2 = 167281     579^2 = 335241     749^2 = 561001     919^2 = 844561
410^2 = 168100     580^2 = 336400     750^2 = 562500     920^2 = 846400
411^2 = 168921     581^2 = 337561     751^2 = 564001     921^2 = 848241
412^2 = 169744     582^2 = 338724     752^2 = 565504     922^2 = 850084
413^2 = 170569     583^2 = 339889     753^2 = 567009     923^2 = 851929
414^2 = 171396     584^2 = 341056     754^2 = 568516     924^2 = 853776
415^2 = 172225     585^2 = 342225     755^2 = 570025     925^2 = 855625
416^2 = 173056     586^2 = 343396     756^2 = 571536     926^2 = 857476
417^2 = 173889     587^2 = 344569     757^2 = 573049     927^2 = 859329
418^2 = 174724     588^2 = 345744     758^2 = 574564     928^2 = 861184
419^2 = 175561     589^2 = 346921     759^2 = 576081     929^2 = 863041
420^2 = 176400     590^2 = 348100     760^2 = 577600     930^2 = 864900
421^2 = 177241     591^2 = 349281     761^2 = 579121     931^2 = 866761
422^2 = 178084     592^2 = 350464     762^2 = 580644     932^2 = 868624
423^2 = 178929     593^2 = 351649     763^2 = 582169     933^2 = 870489
424^2 = 179776     594^2 = 352836     764^2 = 583696     934^2 = 872356
425^2 = 180625     595^2 = 354025     765^2 = 585225     935^2 = 874225
426^2 = 181476     596^2 = 355216     766^2 = 586756     936^2 = 876096
427^2 = 182329     597^2 = 356409     767^2 = 588289     937^2 = 877969
428^2 = 183184     598^2 = 357604     768^2 = 589824     938^2 = 879844
429^2 = 184041     599^2 = 358801     769^2 = 591361     939^2 = 881721
430^2 = 184900     600^2 = 360000     770^2 = 592900     940^2 = 883600
431^2 = 185761     601^2 = 361201     771^2 = 594441     941^2 = 885481
432^2 = 186624     602^2 = 362404     772^2 = 595984     942^2 = 887364
433^2 = 187489     603^2 = 363609     773^2 = 597529     943^2 = 889249
434^2 = 188356     604^2 = 364816     774^2 = 599076     944^2 = 891136
435^2 = 189225     605^2 = 366025     775^2 = 600625     945^2 = 893025
436^2 = 190096     606^2 = 367236     776^2 = 602176     946^2 = 894916
437^2 = 190969     607^2 = 368449     777^2 = 603729     947^2 = 896809
438^2 = 191844     608^2 = 369664     778^2 = 605284     948^2 = 898704
439^2 = 192721     609^2 = 370881     779^2 = 606841     949^2 = 900601
440^2 = 193600     610^2 = 372100     780^2 = 608400     950^2 = 902500
441^2 = 194481     611^2 = 373321     781^2 = 609961     951^2 = 904401
442^2 = 195364     612^2 = 374544     782^2 = 611524     952^2 = 906304
443^2 = 196249     613^2 = 375769     783^2 = 613089     953^2 = 908209
444^2 = 197136     614^2 = 376996     784^2 = 614656     954^2 = 910116
445^2 = 198025     615^2 = 378225     785^2 = 616225     955^2 = 912025
446^2 = 198916     616^2 = 379456     786^2 = 617796     956^2 = 913936
447^2 = 199809     617^2 = 380689     787^2 = 619369     957^2 = 915849
448^2 = 200704     618^2 = 381924     788^2 = 620944     958^2 = 917764
449^2 = 201601     619^2 = 383161     789^2 = 622521     959^2 = 919681
450^2 = 202500     620^2 = 384400     790^2 = 624100     960^2 = 921600
451^2 = 203401     621^2 = 385641     791^2 = 625681     961^2 = 923521
452^2 = 204304     622^2 = 386884     792^2 = 627264     962^2 = 925444
453^2 = 205209     623^2 = 388129     793^2 = 628849     963^2 = 927369
454^2 = 206116     624^2 = 389376     794^2 = 630436     964^2 = 929296
455^2 = 207025     625^2 = 390625     795^2 = 632025     965^2 = 931225
456^2 = 207936     626^2 = 391876     796^2 = 633616     966^2 = 933156
457^2 = 208849     627^2 = 393129     797^2 = 635209     967^2 = 935089
458^2 = 209764     628^2 = 394384     798^2 = 636804     968^2 = 937024
459^2 = 210681     629^2 = 395641     799^2 = 638401     969^2 = 938961
460^2 = 211600     630^2 = 396900     800^2 = 640000     970^2 = 940900
461^2 = 212521     631^2 = 398161     801^2 = 641601     971^2 = 942841
462^2 = 213444     632^2 = 399424     802^2 = 643204     972^2 = 944784
463^2 = 214369     633^2 = 400689     803^2 = 644809     973^2 = 946729
464^2 = 215296     634^2 = 401956     804^2 = 646416     974^2 = 948676
465^2 = 216225     635^2 = 403225     805^2 = 648025     975^2 = 950625
466^2 = 217156     636^2 = 404496     806^2 = 649636     976^2 = 952576
467^2 = 218089     637^2 = 405769     807^2 = 651249     977^2 = 954529
468^2 = 219024     638^2 = 407044     808^2 = 652864     978^2 = 956484
469^2 = 219961     639^2 = 408321     809^2 = 654481     979^2 = 958441
470^2 = 220900     640^2 = 409600     810^2 = 656100     980^2 = 960400
471^2 = 221841     641^2 = 410881     811^2 = 657721     981^2 = 962361
472^2 = 222784     642^2 = 412164     812^2 = 659344     982^2 = 964324
473^2 = 223729     643^2 = 413449     813^2 = 660969     983^2 = 966289
474^2 = 224676     644^2 = 414736     814^2 = 662596     984^2 = 968256
475^2 = 225625     645^2 = 416025     815^2 = 664225     985^2 = 970225
476^2 = 226576     646^2 = 417316     816^2 = 665856     986^2 = 972196
477^2 = 227529     647^2 = 418609     817^2 = 667489     987^2 = 974169
478^2 = 228484     648^2 = 419904     818^2 = 669124     988^2 = 976144
479^2 = 229441     649^2 = 421201     819^2 = 670761     989^2 = 978121
480^2 = 230400     650^2 = 422500     820^2 = 672400     990^2 = 980100
481^2 = 231361     651^2 = 423801     821^2 = 674041     991^2 = 982081
482^2 = 232324     652^2 = 425104     822^2 = 675684     992^2 = 984064
483^2 = 233289     653^2 = 426409     823^2 = 677329     993^2 = 986049
484^2 = 234256     654^2 = 427716     824^2 = 678976     994^2 = 988036
485^2 = 235225     655^2 = 429025     825^2 = 680625     995^2 = 990025
486^2 = 236196     656^2 = 430336     826^2 = 682276     996^2 = 992016
487^2 = 237169     657^2 = 431649     827^2 = 683929     997^2 = 994009
998^2 = 996004
999^2 = 998001